dice

IYPT2022 7. Three-Sided Dice 圆柱形骰子

To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?

一枚硬币落地时侧面站立的情况通常是很罕见的。为了使一个圆柱形骰子落下时能有相同的概率立在它的侧面和上下表面其中之一，它应该具有怎样的物理和几何特征？

本人水平有限，以下分析仅作娱乐。如有错误，请路过的大佬指出。

建模分析

我们选用特殊的材料来制作这个can,使得can与ground之间的碰撞为完全非弹性碰撞，且静摩擦系数极大。

• 一次有效抛掷需满足角速度为某值,初速度竖直向上

• 抛掷者的投掷起始高度

• 1. When ,概率太小
• 2. When ,会进行一次碰撞，问题转换为刚体的定轴转动，后结束。

先引入一个简单模型分析：

导出结果

为一次碰撞后的角速度。再根据能量守恒：

• 1. =0,概率太小
• 2. >0,一定落侧面
• 3. <0,一定落正反面

引入模型：

• is unknown

一些辅助量的导出

转动惯量J的导出

高度，初速度，角速度与落地夹角的约束条件

导出结果

整理上述方程(took me a long time),化简得以下结果：


通过方程联立得： 的关系，可解出,进而解出

当满足：

时，可以解得满足条件的一系列.

本人水平有限，暂时止步于此。晚安世界。